منحنی براکیستوکرون: 18 مرحله (همراه با تصاویر)

2024 نویسنده: John Day | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-30 08:54

منحنی براکیستوکرون یک مشکل فیزیک کلاسیک است که سریعترین مسیر را بین دو نقطه A و B که در ارتفاعات مختلف قرار دارند ، بدست می آورد. اگرچه این مشکل ممکن است ساده به نظر برسد ، اما نتیجه ای غیرقابل تصور ارائه می دهد و بنابراین تماشای آن جذاب است. در این دستورالعمل ها می توانید با مسئله نظری آشنا شوید ، راه حل را توسعه دهید و در نهایت مدلی بسازید که ویژگی های این اصل شگفت انگیز فیزیک را نشان دهد.

این پروژه برای دانش آموزان دبیرستانی طراحی شده است زیرا مفاهیم مرتبط در کلاس های تئوری را پوشش می دهند. این پروژه عملی نه تنها درک آنها را از این موضوع تقویت می کند بلکه ترکیبی از چندین زمینه دیگر را برای توسعه ارائه می دهد. به عنوان مثال ، هنگام ساختن مدل ، دانش آموزان قصد دارند از طریق قانون اسنل ، برنامه نویسی رایانه ای ، مدل سازی سه بعدی ، تقلب دیجیتالی و مهارت های اولیه نجاری ، نوری را یاد بگیرند. این به کل کلاس اجازه می دهد تا کار را بین خود تقسیم کرده و به یک کار گروهی تبدیل شود. زمان لازم برای ساخت این پروژه حدود یک هفته است و سپس می تواند به کلاس یا دانش آموزان جوانتر نشان داده شود.

هیچ راهی برای یادگیری بهتر از طریق STEM وجود ندارد ، بنابراین برای ساختن مدل براکیستوکرون خود کار خود را دنبال کنید. اگر پروژه را دوست دارید در مسابقه کلاس درس به آن رای دهید.

مرحله 1: مسئله نظری

مشکل براکیستوکرون مشکلی است که حول یافتن منحنی که دو نقطه A و B را در ارتفاعات مختلف به هم متصل می کند می چرخد ، به طوری که B مستقیماً زیر A نیست ، به طوری که ریزش سنگ مرمر تحت تأثیر میدان گرانشی یکنواخت در طول این مسیر باعث می شود در سریع ترین زمان ممکن به B برسید این مشکل توسط یوهان برنولی در سال 1696 مطرح شد.

هنگامی که یوهان برنولی مشکل براکیستوکرون را در ژوئن 1696 از خوانندگان Acta Eruditorum ، که یکی از اولین مجلات علمی سرزمینهای آلمانی زبان اروپا بود ، پرسید ، از 5 ریاضی دان دریافت کرد: اسحاق نیوتن ، یعقوب برنولی ، گوتفرید لایب نیتس ، ارنفرید والتر فون تسیرنهاوس و گیوم د هپیتال هریک دارای رویکردهای منحصر به فرد هستند!

هشدار: مراحل زیر حاوی پاسخ است و زیبایی پشت این سریعترین مسیر را آشکار می کند. یک لحظه وقت بگذارید و به این مشکل فکر کنید ، شاید شما هم مانند یکی از این پنج نابغه آن را حل کنید.

مرحله 2: استفاده از قانون Snell برای نشان دادن

یکی از روشهای حل مشکل براکیستوکرون ، حل مشکل با رسم قیاس با قانون اسنل است. قانون اسنل برای توصیف مسیری که یک پرتو نور طی می کند تا از نقطه ای به نقطه دیگر برسد ، با استفاده از اصل فرما ، که می گوید پرتو نور همیشه سریعترین مسیر را طی می کند ، از نقطه ای به نقطه دیگر عبور می کند. با مراجعه به پیوند زیر می توانید مشتق رسمی این معادله را پیدا کنید.

از آنجا که یک جسم سقوط آزاد تحت تأثیر میدان گرانشی را می توان با یک پرتو نوری که از طریق محیط در حال تغییر عبور می کند مقایسه کرد ، هر بار که پرتو نور با یک محیط جدید برخورد می کند ، پرتو کمی منحرف می شود. زاویه این انحراف را می توان با استفاده از قانون اسنل محاسبه کرد. با ادامه افزودن لایه های کاهش تراکم در مقابل پرتو انحرافی نور ، تا زمانی که پرتو به زاویه بحرانی برسد ، جایی که پرتو به سادگی منعکس می شود ، مسیر پرتو منحنی براکیستوکرون را توصیف می کند. (منحنی قرمز در نمودار بالا)

منحنی براکیستوکرون در واقع یک سیکلوئید است که منحنی است که توسط یک نقطه در لبه یک چرخ دایره ای شکل حرکت می کند ، زیرا چرخ در یک خط مستقیم بدون لغزش حرکت می کند. بنابراین اگر ما نیاز به ترسیم منحنی داریم ، می توان به سادگی از روش بالا برای ایجاد آن استفاده کرد. یکی دیگر از ویژگیهای منحنی منحنی این است که یک توپ آزاد شده از هر نقطه از منحنی دقیقاً همان زمان را می گیرد تا به پایین برسد. مراحل زیر روند ساختن یک کلاس آزمایشی با ساخت یک مدل را شرح می دهد.

مرحله 3: مدل آزمایش عملی

این مدل شامل مسیرهای برش لیزری است که به عنوان آهنگ هایی برای تیله ها عمل می کند. برای اثبات اینکه منحنی براکیستوکرون سریعترین مسیر از نقطه A تا B است ، تصمیم گرفتیم آن را با دو مسیر دیگر مقایسه کنیم. از آنجا که بسیاری از افراد به طور شهودی احساس می کنند کوتاهترین قسمت سریعترین است ، ما تصمیم گرفتیم که یک شیب مستقیم که هر دو نقطه را به هم متصل می کند ، به عنوان مسیر دوم قرار دهیم. مورد سوم منحنی شیب دار است ، زیرا فرد احساس می کند که افت ناگهانی سرعت کافی برای غلبه بر بقیه ایجاد می کند.

دومین آزمایش که در آن توپ ها از ارتفاعات مختلف در سه مسیر براکیستوکرون آزاد می شوند ، منجر به رسیدن توپ ها به طور همزمان می شود. بنابراین مدل ما دارای راهنماهای چاپ سه بعدی است که قابلیت تعویض آسان بین صفحات اکریلیک را فراهم می کند تا هر دو آزمایش را انجام دهد.

در نهایت مکانیزم رهاسازی تضمین می کند که توپ ها کنار هم قرار می گیرند و ماژول زمان بندی در پایین زمان ها را هنگام رسیدن توپ ها به پایین ثبت می کند. برای دستیابی به این هدف ، ما سه کلید محدود را تعبیه کرده ایم که وقتی توپ ها آن را فعال می کنند فعال می شوند.

توجه: می توان به سادگی این طرح را کپی کرد و از مقوا یا مواد دیگری که به راحتی در دسترس هستند تهیه کرد

مرحله 4: مواد مورد نیاز

در اینجا قطعات و لوازم مورد نیاز برای ایجاد یک مدل آزمایش آزمایش براکیستوکرون آمده است

سخت افزار:

تخته چوب کاج 1 اینچی - ابعاد ؛ 100 سانتی متر در 10 سانتی متر

Neodymium Magnetx 4 - ابعاد ؛ 1 سانتی متر قطر و 0.5 سانتی متر ارتفاع

رشته چاپ سه بعدی- PLA یا ABS خوب است

M3 Threaded Insert x 8 - (اختیاری)

پیچ M3 x 8 - طول 2.5 سانتی متر

پیچ چوبی 3 - 6 سانتی متر طول

پیچ چوبی 12 - 2.5 سانتی متر طول

الکترونیک:

آردوینو اونو

Limit Switchx 4- این سوئیچ ها به عنوان سیستم زمان بندی عمل خواهند کرد

دکمه فشار

صفحه نمایش ال سی دی

Jumpwire x many

هزینه کل مدل حدود 3 0 دلار است

مرحله 5: چاپ سه بعدی

چندین قسمت مانند مکانیزم انتشار و جعبه کنترل با کمک چاپگر سه بعدی ساخته شد. لیست زیر شامل تعداد کل قطعات و مشخصات چاپ آنها است. همه فایلهای STL در پوشه ای که در بالا ضمیمه شده است ارائه می شود و به آنها اجازه می دهد در صورت لزوم تغییرات مورد نیاز خود را انجام دهند.

جعبه کنترل x 1 ، 20٪ پر کردن

راهنمای x 6 ، 30٪ پر کردن

End Stop x 1 ، 20٪ پر کردن

بازوی محوری x 1 ، 20٪ پر کردن

Pivot Mount x 1 ، 30٪ پر کردن

انتشار قطعه x 1 ، 20٪ پر کردن

قطعات در PLA چاپ شدند زیرا هیچ گونه تنش خاصی روی قطعات ایجاد نمی شود. در کل حدود 40 ساعت چاپ طول کشید.

مرحله 6: برش لیزر مسیرها

مسیرهای مختلفی که روی فیوژن 360 طراحی کردیم به صورت فایل های.dxf صادر و سپس برش لیزری داده شد. ما اکریلیک سفید مات با ضخامت 3 میلی متر را برای ایجاد منحنی ها انتخاب کردیم. حتی می توان آن را با چوب با ابزار دستی تهیه کرد ، اما مهم است که از سخت بودن مواد انتخاب شده اطمینان حاصل شود زیرا انعطاف پذیری ممکن است بر نحوه چرخش توپ ها تأثیر بگذارد.

6 x منحنی براکیستوکرون

2 x منحنی شیب دار

2 x منحنی مستقیم

مرحله 7: برش چوب

قاب مدل از چوب ساخته شده است. ما کاج 1 "در 4" را به عنوان باقی مانده از پروژه قبلی انتخاب کردیم ، اگرچه می توان از چوب دلخواه خود استفاده کرد. با استفاده از اره مدور و راهنما دو تکه چوب به طول برش می دهیم:

48 سانتی متر که طول مسیر است

31 سانتی متر که ارتفاع آن است

ما لبه های ناهموار را با سنباده کمی روی سنباده دیسکی تمیز کردیم.

مرحله هشتم: حفر سوراخ ها

قبل از پیچاندن دو قطعه به یکدیگر ، ضخامت چوب را در یک انتهای قطعه پایینی علامت گذاری کرده و سه سوراخ مساوی را در مرکز قرار دهید. ما از یک بیت 5 میلی متری برای ایجاد یک حفره آزمایشی بر روی هر دو تکه چوب استفاده کردیم و سوراخ روی قطعه پایینی را متوقف کردیم تا بتوانیم سر پیچ را در حالت فلاش قرار دهیم.

توجه: مراقب باشید تکه چوبی عمودی را جدا نکنید زیرا در حال سوراخ شدن در دانه انتهایی است. همچنین از پیچ های بلند چوبی استفاده کنید زیرا مهم است که قاب به دلیل اهرم فشار نچرخد و قسمت بالایی آن تکان بخورد.

مرحله 9: جاسازی سینک های حرارتی و آهن ربا

با توجه به اینکه نخ ها در قطعات چاپ سه بعدی با گذشت زمان فرسوده می شوند ، تصمیم گرفتیم هیت سینک ها را تعبیه کنیم. اندازه سوراخ ها کمی کمتر است تا اجازه دهد سینک حرارتی بهتر به پلاستیک چسبیده باشد. سینک های M3 را روی سوراخ ها قرار دادیم و آنها را با نوک آهن لحیم کاری به داخل هل دادیم. گرما پلاستیک را ذوب می کند و اجازه می دهد دندان ها خود را به هم بچسبانند. اطمینان حاصل کنید که سطح آنها هم سطح بوده و عمود بر هم رفته اند. در مجموع 8 نقطه برای درج های رزوه دار وجود دارد: 4 برای درب و 4 مورد برای نصب Arduino Uno.

برای سهولت در نصب واحد زمان بندی ، آهن ربا را در جعبه جاسازی کرده ایم و در صورت لزوم تغییر ، جدا شدن آن آسان می شود. آهنرباها قبل از اینکه به محل خود فشار داده شوند نیاز به جهت مشابه دارند

مرحله 10: اتصال سوئیچ های محدود

سه سوئیچ محدود به یک طرف واحد زمان بندی وصل شده به انتهای مسیرها متصل شده اند. بنابراین وقتی توپ ها روی سوئیچ ها کلیک می کنند ، می توان تعیین کرد که اولین توپ به کدام قسمت رسیده است و زمان را روی صفحه نمایش LCD نمایش می دهد. روی نوارهای کوچک سیم را به پایانه ها لحیم کرده و آنها را با یک تکه چسب CA در شکاف ها محکم کنید زیرا نباید بعد از ضربه های مداوم شل شوند.

مرحله 11: صفحه نمایش LCD

درب واحد زمان بندی دارای یک برش مستطیلی برای صفحه LCD و یک سوراخ برای دکمه "شروع" است. ما صفحه نمایش را با تکه های چسب حرارتی ایمن کردیم تا سطح درپوش هم تراز شود و دکمه قرمز را با مهره نصب آن ثابت کردیم.

مرحله 12: سیم کشی دستگاه های الکترونیکی

سیم کشی شامل اتصال اجزای مختلف به پین های مناسب در آردوینو است. برای نصب جعبه ، نمودار سیم کشی بالا را دنبال کنید.

مرحله 13: بارگذاری کد

کد آردوینو برای پروژه براکیستوکرون در زیر پیوست شده است. دو محفظه در قسمت لوازم الکترونیکی برای دسترسی آسان به پورت برنامه نویسی آردوینو و جک پاور وجود دارد.

دکمه قرمز رنگی که در بالای جعبه وصل شده است برای شروع زمان سنج استفاده می شود. هنگامی که تیله ها منحنی ها را پایین می آورند و کلیدهای محدود کننده را فعال می کنند ، که در پایین قرار دارد ، زمان بندی ها به ترتیب ثبت می شوند. پس از برخورد هر سه توپ ، صفحه LCD نتایج را مطابق با منحنی های مربوطه نمایش می دهد (تصاویر پیوست شده در بالا). هنگامی که نتایج را در صورت نیاز به خواندن دوم مورد توجه قرار دادید ، کافی است دکمه اصلی را دوباره فشار دهید تا تایمر را تازه کنید و همین روند را تکرار کنید.

مرحله 14: راهنمای چاپ سه بعدی

راهنماهایی که به صورت سه بعدی چاپ می شدند قبل از شروع دیوارهای نگهدارنده دارای پایه مواد 3 میلی متری بودند. بنابراین هنگامی که صفحات اکریلیک در جای خود قرار می گیرند ، بین پانل و قاب چوبی شکاف ایجاد می شود و ثبات مسیر را کاهش می دهد.

بنابراین راهنما باید 3 میلی متر در چوب جاسازی شود. از آنجا که روتر نداشتیم ، آن را به یک کارگاه محلی بردیم و آن را روی دستگاه فرز انجام دادیم. پس از کمی سنباده کاری ، چاپها محکم می شوند و می توانیم آن را با پیچ های چوبی از کنار محکم کنیم. در بالا الگویی برای قرار دادن 6 راهنما روی قاب چوبی وجود دارد.

مرحله 15: اضافه کردن درپوش و واحد زمان بندی

از آنجا که ماژول زمان بندی یک سیستم جداگانه بود ، تصمیم گرفتیم با استفاده از آهن ربا یک سیستم سریع نصب و جداسازی بسازیم. به این ترتیب می توان به راحتی آن را به سادگی برنامه را بیرون آورد. به جای ساختن الگویی برای انتقال موقعیت آهن رباهایی که باید در چوب جاسازی شوند ، به سادگی اجازه می دهیم تا به قطعات روی جعبه متصل شوند و سپس کمی چسب بزنیم و جعبه را روی تکه چوب قرار دهیم. علامت های چسب به چوب منتقل می شود و به ما اجازه می دهد به سرعت سوراخ های نقاط دقیق را حفر کنیم. سرانجام دریچه چاپ سه بعدی را وصل کنید و واحد زمان بندی باید محکم جا بیفتد اما بتواند با کمی کشش جدا شود

مرحله 16: مکانیزم انتشار

مکانیسم رهاسازی ساده است. از مهره و پیچ برای محکم اتصال بخش C به بازوی محوری استفاده کنید و آنها را به یک قطعه محکم تبدیل کنید. سپس دو سوراخ در وسط چوب عمودی ایجاد کرده و پایه را وصل کنید. یک محور محوری را لغزید و مکانیسم کامل است.

مرحله 17: آزمایش

اکنون که مدل آماده است می توانید آزمایش های زیر را انجام دهید

آزمایش 1

در صفحه های اکریلیک مسیر مستقیم ، منحنی براکیستوکرون و مسیر شیب دار (به این ترتیب برای بهترین جلوه) به دقت حرکت کنید. سپس قفل را به سمت بالا بکشید و سه توپ را در بالای منحنی قرار دهید تا مطمئن شوید کاملا با یکدیگر تراز شده اند. آنها را با محکم بستن محکم در جای خود نگه دارید. یک دانش آموز را مجبور کنید که توپ ها را رها کند و یکی دیگر دکمه قرمز را فشار دهید تا سیستم زمان بندی شروع به کار کند. در نهایت مشاهده کنید که توپ ها در مسیر حرکت می کنند و نتایج نمایش داده شده در ماژول زمان بندی را تجزیه و تحلیل کنید. راه اندازی دوربین برای ضبط تصاویر آهسته حتی هیجان انگیزتر است زیرا می توانید مسابقه را فریم به فریم ببینید.

آزمایش 2

مانند آزمایش قبلی ، در پانل های اکریلیک اسلاید کنید ، اما این بار همه مسیرها باید منحنی براکیستون کرون باشند. با دقت از دانش آموز بخواهید که این بار سه توپ را در ارتفاعات مختلف نگه دارد و با رها شدن توپ ها دکمه قرمز را فشار دهید. لحظه شگفت انگیز را تماشا کنید که توپ ها قبل از خط پایان کاملاً کنار هم قرار می گیرند و مشاهدات را با نتایج تأیید می کنند.

مرحله 18: نتیجه گیری

ساخت مدل براکیستوکرون روشی عملی برای مشاهده روشهای جادویی عملکرد علم است. تماشای و جذاب بودن آزمایشات نه تنها سرگرم کننده است بلکه ترکیبی از جنبه های یادگیری را ارائه می دهد. در حالی که عمدتا یک پروژه برای دانش آموزان دبیرستانی ، چه از نظر عملی و چه از نظر تئوریک ، در نظر گرفته شده است ، این تظاهرات را می توان به راحتی توسط بچه های کوچکتر درک کرد و می تواند به عنوان یک ارائه ساده نشان داده شود.

ما می خواهیم مردم را تشویق کنیم تا همه چیز را بسازند ، چه موفقیت و چه شکست ، زیرا در پایان روز STEM همیشه سرگرم کننده است! ساخت خوشحالم!

اگر از دستورالعمل ها خوشتان آمد در مسابقه کلاس رأی دهید و نظرات خود را در قسمت نظرات بنویسید.

جایزه بزرگ در مسابقه علمی کلاس درس