نحوه ایجاد یک برنامه ادغام عددی در پایتون: 10 مرحله

2024 نویسنده: John Day | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-30 08:57

این یک آموزش نحوه ایجاد و اجرای برنامه ای است که انتگرال های مشخص را با استفاده از الگوریتم ادغام عددی ارزیابی می کند. مراحل را به 3 بخش تقسیم کرده ام: درک الگوریتم مورد استفاده برای ساخت برنامه ، برنامه نویسی برنامه با استفاده از زبان برنامه نویسی پایتون و اجرای برنامه. این آموزش برای افرادی است که ممکن است نیاز به محاسبه سریع برای ارزیابی انتگرال معین داشته باشند ، یا شاید برای استفاده در برنامه در مقیاس بزرگ به الگوریتم نیاز دارند. دانش اولیه حسابداری مورد انتظار است ، اما اطلاعات ریاضی مربوطه مورد بررسی قرار می گیرد. دانش برنامه نویسی مورد انتظار نیست ، اما مفید است زیرا من فقط به طور خلاصه نحوه عملکرد برنامه نویسی را توضیح می دهم.

آنچه شما نیاز دارید:

رایانه شخصی با دسترسی به اینترنت

مرحله 1: درک الگوریتم قسمت 1: انتگرال معین و استفاده از آن

من فرض می کنم شما کمی می دانید که انتگرال در زمینه محاسبات اولیه چیست. انتگرالها مهم هستند زیرا به شما اجازه می دهند مجموعه ای از مقادیر ضرب در طول بی نهایت کوچک را جمع کنید. این در بسیاری از زمینه های مالی ، نظریه اعداد ، فیزیک ، شیمی و همچنین بسیاری از زمینه های دیگر مفید است. با این حال ، این برنامه فقط به شما امکان می دهد مساحت زیر منحنی را برای یک فاصله محدود محاسبه کنید ، یا به عبارت دیگر ، ضد مشتقات را ارزیابی نمی کند-الگوریتم بسیار قوی تری برای این کار لازم است. این الگوریتم در صورتی مفید است که نیاز به ارزیابی یک انتگرال مشخص در یک برنامه بزرگتر داشته باشید که برای چیز دیگری مشخص شده است ، یا اگر می خواهید پاسخ خود را برای هر انتگرال مشخصی که با دست انجام شده است بررسی کنید.

انتگرال معین اولیه نشان دهنده مساحت زیر یک منحنی است که توسط یک تابع به عنوان مثال تعریف شده است. f (x) برای انتگرال مشخص ، ما مساحت بین دو نقطه (به ترتیب برچسب a و b) را جستجو می کنیم. در تصویر ، منطقه فیروزه ای ناحیه ای است که من به آن اشاره می کنم ، و معادله تعیین این نیز در آن منطقه نشان داده شده است. عملکرد نشان داده شده در تصویر دلخواه است.

مرحله 2: درک الگوریتم قسمت 2: تقریب عددی

یک کامپیوتر به مجموعه وسیعی از دستورالعمل ها برای محاسبه ناحیه زیر یک تابع دلخواه که برای هر تابع کار می کند نیاز دارد ، بنابراین روشهای تحلیلی که ممکن است با آنها آشنا باشید فایده ای ندارند زیرا بسیار خاص هستند. یک روش برای محاسبه انتگرال به طور تقریبی ، که یک کامپیوتر واقعاً می تواند از عهده آن برآید ، با پر کردن منطقه مورد نظر با مقدار تعریف شده توسط کاربر مستطیل هایی با عرض مساوی و ارتفاع متغیر و سپس جمع بندی تمام مساحت مستطیل انجام می شود. خواص سفت و سخت مستطیلها قسمتی از مساحت کل را دست نخورده می گذارد ، بنابراین چرا این یک تقریب در نظر گرفته می شود. با این حال ، هرچه تعداد مستطیل های بیشتری بین خطوط (a و b) متصل شود ، تقریب دقیق تر خواهد بود زیرا مناطق دست نخورده پراکنده تر می شوند. از آنجا که رایانه وظیفه خود را انجام می دهد ، می توانید تعداد مستطیل های منطقه مورد نظر را یک عدد بسیار زیاد قرار دهید و تقریب را بسیار دقیق کنید. در تصویر پشتیبان ، تصور کنید که هر مستطیل در ناحیه تعیین شده دارای عرض مساوی است. من تمام تلاش خود را کردم تا عرض آنها در Microsoft Paint برابر باشد ، اما بهترین کار را انجام ندادم.

مرحله 3: درک الگوریتم قسمت 3: قانون نقطه میانی

این قانون نحوه ساخت و استفاده مستطیل ها در تقریب را مشخص می کند. هر مستطیل خارج از مستطیل های "N" باید دارای عرض مساوی Δx باشد ، اما هر چهارم مستطیل نمی تواند دقیقاً یکسان باشد: عامل متغیر ارتفاع است که با ارزیابی عملکرد در یک نقطه مشخص متفاوت است. نام نقطه میانی از این واقعیت گرفته شده است که شما ارتفاع هر مستطیل را f (x_n) ارزیابی می کنید ، جایی که "x_n" مرکز وسط مربوط به هر مستطیل است ، در سمت چپ یا راست مستطیل. استفاده از نقطه میانی مانند اجرای میانگین است که تقریب را دقیق تر از زمانی که از راست یا چپ استفاده می کنید ، می کند. تصویر حمایتی این مرحله خلاصه ای از نحوه تعریف ریاضی نقطه میانی است.

مرحله 4: ایجاد برنامه قسمت 1: بارگیری کامپایلر/ویرایشگر پایتون

اکنون که الگوریتم مورد نیاز برای پیاده سازی را درک کرده اید ، مهم این است که یک کامپیوتر را برای محاسبه برای شما مجبور کند. اولین قدم برای اینکه به رایانه بگویید چه کاری انجام دهد ، تهیه ابزارهایی برای این کار است. این الگوریتم را می توان به هر زبانی کدگذاری کرد. برای سادگی ، این برنامه به زبان پایتون کدگذاری می شود. برای فرمان دادن به رایانه خود برای انجام عملیات با پایتون ، به ویرایشگری نیاز دارید که دستورالعمل های نوشته شده به آن زبان را داشته باشد و سپس به زبان ماشین کامپایل شود که رایانه شما می تواند درک کند تا بتواند وظایفی را که شما به آن دستور می دهید انجام دهد. در عصر حاضر ، ویرایشگر و کامپایلر معمولاً با هم ادغام می شوند ، اما همیشه اینطور نیست. می توانید از هر ویرایشگر/کامپایلری که با آن راحت هستید استفاده کنید ، اما من به شما نشان خواهم داد که چگونه می توانم مورد علاقه شخصی خود را برای Python: Canopy به دست آورم. اگر قبلاً ویرایشگر/کامپایلر دارید ، می توانید این مراحل را رد کنید.

1. به https://www.enthought.com/product/canopy/ بروید
2. روی بارگیری سایبان کلیک کنید

3. روی دکمه بارگیری مربوط به سیستم عامل خود کلیک کنید

   دانلود به طور خودکار شروع خواهد شد

4. پس از شروع فایل اجرایی ، دستورالعمل های القایی را دنبال کنید
5. برنامه را اجرا کنید
6. از منوی اصلی برنامه روی "ویرایشگر" کلیک کنید
7. روی "ایجاد یک فایل جدید" در مرکز صفحه کلیک کنید

از این نقطه شما باید یک پنجره سفید خالی با مکان نما شبیه یک سند پردازش کلمه اصلی را ببینید. شما اکنون آماده کدگذاری الگوریتم ادغام عددی برای حل انتگرال های مشخص هستید. مراحل بعدی دارای یک قطعه کد است که شما کپی می کنید و توضیحی در مورد آنچه که آن قطعه برای برنامه به طور کلی انجام می دهد.

مرحله 5: ایجاد برنامه قسمت 2: واردکردن توابع و تعریف متغیرها

کد موجود در تصویر را کپی کنید.

برای هر برنامه ای که ممکن است برنامه نویسی کنید ، متغیرهایی وجود دارد. متغیر نامی است که به مقداری داده می شود که روی آن اعمال می شود و می تواند تغییر کند. در اکثر زبانهای برنامه نویسی (اگر نه همه) شما باید متغیری را قبل از اینکه برنامه بتواند در آن تغییر ایجاد کند ، مقداردهی کنید. در مورد این برنامه ، من متغیرها را "N" ، "a" و "b" نامگذاری کرده ام. این مقادیر به ترتیب نشان دهنده تعداد تکرارها (تعداد AKA مستطیل ها) ، حد پایین و مرز فوقانی است. شما می توانید هر چیزی را که می خواهید نامگذاری کنید ، اما برای مطابقت با فرمول های ارائه شده در "درک الگوریتم قسمت 3: قانون نقطه میانی" ، بهتر است آنها را یکسان نگه دارید. توجه داشته باشید که آنها فقط روی یک مقدار خاص تنظیم نشده اند. این به این دلیل است که آنها ورودی هایی هستند که وقتی برنامه اجرا می شود ، کاربر می تواند مقدار آن را تعیین کند. متن نقل قول ها ، پس از فرمان ورودی ، هنگام اجرای برنامه نشان داده می شود که به شما می گوید چه نوع مقداری را تایپ کنید. همچنین متوجه خواهید شد که "int" و "float" قبل از تعیین ورودی استفاده می شوند. این اصطلاحات به رایانه می گویند که این مقدار چه نوع متغیری خواهد بود. "int" یک عدد صحیح است و "float" یک مقدار نقطه شناور (یعنی اعشاری) است. باید واضح باشد که چرا اینها چنین نامگذاری شده اند.

هر متنی که پس از "#" وجود دارد ، نظری است که به برنامه نویس اجازه می دهد تا کد را به صورت انسان دوستانه دنبال کند. من نظرات خاصی را در کد خود ارائه کرده ام که از آنها کپی خواهید کرد ، اما در صورت تمایل می توانید نظراتی را که به طور خاص به شما کمک می کند اضافه کنید. برنامه هیچ چیزی را با "#" قبل از آن به عنوان دستور نخواند.

قسمتی از کد که "از واردات ریاضی *" خوانده می شود به برنامه می گوید که آرایه ای از توابع ریاضی را که می تواند بدون نیاز به برنامه ریزی در خود استفاده شود ، وارد کند. "*" فقط به معنی "همه" است. این بخش از کد را به صورت زیر بخوانید: از کتابخانه ریاضی همه توابع را وارد کنید. این به شما امکان می دهد تا از توابع ریاضی مانند سینوس ، کسینوس ، log ، exp و غیره استفاده کنید. این تابع را می توان از لحاظ ریاضی در کد یکپارچه کرد.

مرحله 6: ایجاد برنامه قسمت 3: ایجاد یک تابع برای ادغام

کد موجود در تصویر زیر کد قبلی را کپی کنید.

هشدار: این بخش متراکم است و من می خواهم برخی موارد را که ممکن است گیج کننده باشد روشن کنم. وقتی در مورد برنامه نویسی صحبت می کنید ، کلمه "تابع" بسیار ظاهر می شود. وقتی در مورد ریاضی صحبت می کنید ، این اصطلاح نیز بسیار ظاهر می شود. بنابراین ، از این به بعد ، هنگامی که من در مورد یک تابع به معنای برنامه نویسی صحبت می کنم ، "تابع پایتون" را می نویسم ، و وقتی در مورد تابع ریاضی صحبت می کنم ، می گویم "تابع ریاضی". در نقطه ای از یک تابع پایتون به عنوان نمایشی برای تابع ریاضی مورد نظر استفاده خواهیم کرد.

این قطعه کد بعدی ، قلب برنامه است. در اینجا یک تابع پایتون تعریف شده است که الگوریتم یکپارچه سازی عددی را با استفاده از قانون نقطه میانی انجام می دهد. "def Integrate (N، a، b)" به شرح زیر است: یک تابع به نام "Integrate" تعریف کنید که متغیرهای "N" ، "a" و "b" را می پذیرد و سطح زیر منحنی (تابع ریاضی) را برمی گرداند. که در تابع پایتون "Integrate" نیز تعریف شده است. وقتی کد نویسی می کنید می توانید این تابع پایتون را هر چیزی بنامید ، اما منطقی است که آن را یکپارچه نامید زیرا این یک تابع است که در واقع یک تابع ریاضی را ادغام می کند.

در این مرحله باید درباره نحوه تفکیک پایتون بلوک های کد نظر داد. بلوک کد یک بخش کامل است که وظیفه خاصی را انجام می دهد. زبانهای مختلف برنامه نویسی روشهایی را برای تشخیص این "بلوکها" تعیین کرده اند. برای پایتون ، یک بلوک با تورفتگی متمایز می شود: هر بخش انجام وظیفه دارای تورفتگی خاص خود است و می توان بلوک های تورفتگی را در سایر بلوک های تورفت وجود داشت. این نشان دهنده وظایف درون وظایف است و اساساً ترتیب اجرای کد را نشان می دهد. در مورد تابع تعریف شده پایتون "ادغام" ، همه چیز در آن تابع به صورت یک بلوک قرار گرفته است ، بنابراین وظایفی را که در آن تابع اجرا می شوند متمایز می کند. در این تابع پایتون قسمت های تورفتگی وجود دارد که وظایف خود را نیز انجام می دهند. این امر به شرح زیر است: یک فرمان (وظیفه) تنظیم می شود ، یک کولون فرمان را دنبال می کند ، و آنچه دستور انجام می دهد در زیر آن تورفتگی وجود دارد.

بلافاصله پس از تعریف تابع "ادغام" پایتون ، یک تابع دیگر پایتون به نام f (x) را تعریف می کنید. این نشان دهنده عملکرد ریاضی است که یکپارچه خواهد شد. برای هر تابع ریاضی متفاوت که می خواهید ادغام کنید ، باید آن را به خط برنامه برسانید (بر خلاف متغیرهایی که هنگام اجرای برنامه تعریف می شوند). هر تابع پایتون یک مقدار بازگشتی دارد ، این همان چیزی است که وقتی آن را به یک مقدار می زنید ، آن را برمی گرداند. در این حالت مقدار پرتاب شده "x" است و این عبارت "x" ارزش چیزی را که شما آن را پرتاب می کنید ، می گیرد-این مقدار موقتی است.

در مرحله بعد ، یک حلقه for به عنوان جمع بندی تعریف شده در فرمول های بخش "درک الگوریتم" این آموزش عمل می کند. این جمع بندی به چند متغیر دیگر نیاز دارد که یکی از آنها به عنوان مقدار بازگشتی برای کل عملکرد "ادغام" پایتون عمل می کند. قبل از حلقه for ، من این متغیرها را به عنوان "value" و "value2" تعیین کرده ام. وظیفه حلقه for این است که طیف وسیعی از مقادیر را برای یک متغیر تعیین شده تکرار کند ، که می تواند به راحتی در دستور for-loop تعریف شود. در این حالت ، آن متغیر "n" است. محدوده ای که برای آن تکرار می شود 1 تا N+1 است. باید توجه داشته باشید که جمع بندی تعریف شده در فرمول های فوق فقط از 1 تا N متغیر است. ما آن را به این صورت تعریف می کنیم زیرا زبان پایتون هر مقدار تکرار شده را از صفر محاسبه می کند ، بنابراین ما اساساً باید دامنه مقادیر را متناسب با مطلوب خود تغییر دهیم. دامنه. سپس حلقه for اجازه می دهد تا همه ارتفاعات مستطیل با هم جمع شوند و این مقدار را در متغیری که من "مقدار" نامیده ام ذخیره می کند. این در قطعه کد نشان داده می شود که به صورت: مقدار += f (a +((n- (1/2))*((b-a)/N))) است.

از آنجا ، قطعه بعدی کد از متغیر "value2" استفاده می کند که سپس مجموع همه ارتفاعات هر مستطیل ضرب در عرض استاندارد هر مستطیل را تعیین می کند-این آخرین پاسخ ما است که می خواهیم نمایش داده شده توسط برنامه ما ، و در نتیجه مقدار بازگشتی تابع "ادغام" پایتون است.

مرحله 7: ایجاد برنامه قسمت 4: نمایش پاسخ

کد موجود در تصویر زیر کد قبلی را کپی کنید.

اکنون که می توان از طریق تابع "ادغام" پایتون پاسخ را دریافت کرد ، می خواهیم بتوانیم آن را نمایش دهیم. این فقط مربوط به قرار دادن مقادیری است که توسط کاربر ("N" ، "a" و "b") در عملکرد "ادغام" پایتون قرار داده شده و بر روی صفحه چاپ می شود. این دستور در خط 21 نشان داده شده است ، و در واقع تمام کاری است که برای انجام این مرحله باید انجام دهید. کد خطوط 19 و 20 فقط برای "زیبا کردن" خروجی کل برنامه وجود دارد. "print (" ……………………… " بعد از آن خط متن چاپ شود.

مرحله 8: اجرای برنامه قسمت 1: اجرای برنامه همانطور که هست

اگر از Canopy استفاده نمی کنید ، احتمالاً حتی نیازی به انجام این مرحله ندارید و اجرای برنامه ممکن است به مراحل مختلف نیاز داشته باشد. در Canopy ، قبل از اینکه بتوانید برنامه را اجرا کنید ، باید آن را ذخیره کنید. نوع فایل برنامه Python یک فایل.py است-به صورت خودکار ذخیره می شود. جایی را که می خواهید فایل ذخیره شود انتخاب کنید ، سپس می توانید برنامه را اجرا کنید.

اجرای برنامه:

1. روی دکمه سبز رنگ که شبیه "دکمه پخش" واقع در نوار ابزار درست بالای محل نام فایل شما است ضربه بزنید (به تصویر مراجعه کنید).
2. سپس برنامه در صفحه پایین ویرایشگر که به محیط تجزیه و تحلیل داده Canopy معروف است اجرا می شود. با فرض اینکه اعلانها را همانطور که من آنها را کپی کرده اید کپی کرده اید ، باید در انتهای محیط تجزیه و تحلیل داده های Canopy عبارت زیر را مشاهده کنید: "تعداد دفعاتی را که می خواهید جمع کنید وارد کنید (دفعات بیشتر = دقیق تر):." (به عکس مراجعه شود)
3. مقدار موردنظر برای چند بار که می خواهید تکرار را انجام دهید یعنی 10000 (چند مستطیل را می خواهید وارد منطقه خود کنید) وارد کنید ، سپس Enter را بزنید.
4. پیامهای بیشتری با عباراتی ظاهر می شوند که باید همان ورودی های آشنا باشند که در مرحله 5 در برنامه کدگذاری کرده اید. آنها را درست مانند شماره 3 بالا به طور مناسب پر کنید.
5. انتگرال باید ارزیابی شود و نتیجه ای ظاهر شود.

اگر برنامه را همانطور که در تصاویر قبل نشان داده شده است کدگذاری کرده اید ، فقط f (x) = x^2 را در برخی محدوده ها ادغام کرده اید. انتگرال x^2 به راحتی قابل ارزیابی با دست است ، بنابراین باید بررسی کنید و مطمئن شوید که برنامه به مقدار تحلیلی صحیح که با دست تعیین شده است ، پاسخی بسیار نزدیک داده است. وقتی برنامه را با مقادیر N = 10000 ، a = 0 و b = 10 اجرا می کنم ، پاسخ 333.33333249999964 را دریافت می کنم. پاسخ تحلیلی صحیح 333.333 است. این فوق العاده دقیق و سریع است. شما در اصل 10 ، 000 مستطیل بین 0 تا 10 را در محور x فشار داده اید و از آنها برای تقریب مساحت زیر منحنی x^2 استفاده کرده اید!

مرحله 9: اجرای برنامه قسمت 2: ادغام سایر توابع ریاضی

در مرحله قبل ، اگر صادقانه دنبال کرده اید ، f (x) = x^2 را یکپارچه کرده اید. این تنها عملکرد ریاضی نیست که این برنامه می تواند ادغام کند. از مرحله 5 به یاد بیاورید که مجموعه کتابخانه ریاضی توابع پایتون را به برنامه وارد کرده اید. این به شما امکان می دهد از توابع پیچیده تر ریاضی که می توانند یکپارچه شوند استفاده کنید. بیایید یک ضربه بزنیم. البته ، شما می توانید از هر تابع مورد نظر خود استفاده کنید ، اما من با ادغام یک تابع ریاضی خاص که وقتی در یک محدوده مشخص یکپارچه می شود ، مقدار مشخصی را به دست می آورد ، صحت این کد را بیشتر نشان خواهم داد. آن تابع f (x) = Sin [x] است. این عملکرد ریاضی در اولین تصویر همراه ، که از 0 تا 2π ترسیم شده است ، نمایش داده می شود و منطقه مورد نظر به رنگ فیروزه ای سایه می افتد. مقدار مساوی مساحت مثبت به عنوان ناحیه منفی در این فاصله وجود دارد ، بنابراین اگر مساحت کل را جمع کنید ، باید صفر را بدست آورید. بیایید ببینیم آیا واقعاً این اتفاق می افتد:

قرار دادن تابع ریاضی f (x) = Sin [x] در برنامه:

1. قبل از اجرای مجدد برنامه ، زیر نظر "#نوع عملکرد خود را پس از بازگشت" تایپ کنید: sin (x) جایی که x ** 2 در حال حاضر در آن قرار دارد. (به تصویر مراجعه کنید).
2. برنامه را با زدن دوباره دکمه سبز بازی اجرا کنید.
3. مقدار 10000 را برای مقدار N تایپ کنید (چند بار می خواهید جمع کنید).
4. "0" را برای مرز پایین قرار دهید.
5. 6.2832 را برای مرز بالا (تقریبا 2π) قرار دهید.
6. ببینید چه ارزشی دریافت می کنید.

وقتی این کار را کردم ، در نهایت مقدار 1.079e-10 دریافت کردم: این معادل 0.0000000001079 است ، که واقعاً نزدیک به صفر است ، بنابراین به نظر می رسد دقیق است و نشان می دهد که الگوریتم به اندازه کافی ناحیه منفی را کنترل می کند.

مرحله 10: اجرای برنامه قسمت 3: گسترش برنامه

در این مرحله کار شما به پایان رسیده است: شما یک الگوریتم انتگرال قطعی کار کرده و در پایتون کدگذاری شده است که بدون مشکل اجرا می شود و پاسخ های بسیار دقیقی می دهد. با این حال ، این برنامه می تواند بهبود یابد. من برنامه نویس نیستم و حداقل تجربه کار با پایتون را دارم. در واقع ، من مجبور شدم در تکمیل این آموزش از پایتون استفاده کنم ، اما این به شما اطمینان می دهد که یادگیری پایتون بسیار آسان است. نکته من این است که شما می توانید با کارآمدتر ساختن این برنامه ، ممکن است GUI را پیاده سازی کرده و کاربر پسندتر کنید.

نظر من در مورد گسترش برنامه:

• پیاده سازی یک رابط کاربری گرافیکی که به شما امکان می دهد برنامه را بدون استفاده از محیط تجزیه و تحلیل داده های تعاملی Canopy اجرا کنید
• طوری عمل کنید که تابع ریاضی که باید ادغام شود نیازی به ورودی داخل برنامه نداشته باشد ، اما می تواند بعد از اجرای برنامه ورودی شود (من در ابتدا سعی داشتم این کار را انجام دهم ، اما نتوانستم آن را بفهمم).
• یک تابع پایتون "ادغام" را تعریف کنید تا تابع f (x) را طبق تابع f (x) در آن تعریف کند.

اینها تنها چند نمونه از زمینه های بهبود است ، اما من تضمین می کنم که بسیاری از زمینه های دیگر نیز وجود دارد که می توان آنها را افزایش داد. بنابراین این مرحله را به عنوان نمونه ای از اشکالات این برنامه و شاید یک تمرین برای هر کسی که می خواهد برنامه را بیشتر بهبود بخشد ، می گذارم.