Gaussian و Parabola برای بررسی شارهای نوری LED یک لامپ آزمایشی: 6 مرحله

2024 نویسنده: John Day | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2024-01-30 08:52

سلام به همه سازندگان و جامعه شلوغ Instructable.

این بار Merenel Research یک مشکل تحقیق محض و راهی برای حل آن با ریاضیات به شما ارائه می دهد.

من خودم هنگام محاسبه شار LED چراغ LED RGB ساخته شده (و نحوه ساخت آن را آموزش خواهم داد) خودم این مشکل را داشتم. پس از جستجوی گسترده آنلاین ، پاسخی پیدا نکردم ، بنابراین در اینجا راه حل را ارسال می کنم.

مشکل

اغلب در فیزیک ما باید با منحنی هایی که شکل توزیع گوسی دارند برخورد کنیم. آره! این منحنی شکل زنگوله ای است که برای محاسبه احتمال استفاده می شود و از ریاضیدان بزرگ گاوس به ما ارائه شده است.

منحنی گاوس به طور گسترده ای در برنامه های فیزیکی زندگی واقعی مورد استفاده قرار می گیرد ، به ویژه هنگامی که ما باید با تشعشعاتی که از یک منبع منتشر می شود یا از گیرنده دریافت می شود برخورد کنیم ، به عنوان مثال:

- انتشار قدرت سیگنال رادیویی (به عنوان مثال Wi-Fi) ؛

- شار نوری منتشر شده از LED ؛

- خواندن دیود نوری

در برگه داده سازنده ، ما اغلب مقدار واقعی مساحت گاوسی را در نظر می گیریم ، که کل توان تابشی یا شار نوری در بخش خاصی از طیف (به عنوان مثال یک LED) است ، اما محاسبه تابش واقعی دشوار می شود در اوج منحنی ساطع شده یا حتی تشخیص مشکل تشعشع همپوشانی دو منبع نزدیک بسیار دشوار است ، به عنوان مثال اگر با بیش از یک LED روشنایی داریم (مثلاً آبی و سبز).

در این مقاله آموزشی به شما توضیح می دهم که چگونه می توان گاوسی را با یک منحنی که به راحتی قابل درک است تقریب زد: یک سهمی. من به این س answerال پاسخ خواهم داد: چند منحنی گاوسی در Parabola وجود دارد؟

SPOILER AN پاسخ این است:

منطقه گاوسی همیشه 1 واحد است.

مساحت Parabola مربوطه با همان پایه و ارتفاع 2.13 برابر بزرگتر از ناحیه نسبی گاوسی است (برای مشاهده نمودار به تصویر مراجعه کنید).

بنابراین یک گوسی 46.94 of از سهمیه خود را دارد و این رابطه همیشه صادق است.

این دو عدد به این ترتیب با هم مرتبط هستند 0.46948 = 1/2.13 ، این رابطه ریاضی دقیق بین منحنی گاوس و سهمی آن و بالعکس است.

در این راهنما شما را راهنمایی می کنم تا گام به گام این موضوع را کشف کنید.

تنها ابزار مورد نیاز ما Geogebra.org است ، یک ابزار ریاضی آنلاین عالی برای ترسیم نمودار.

نمودار Geogebra که برای مقایسه یک سهمی با گاوسی تهیه کردم را می توانید در این پیوند مشاهده کنید.

این دستورالعمل طولانی است زیرا در مورد یک تظاهرات است ، اما اگر بخواهید همان مشکلی را که در مورد شارهای نورانی LED داشتم یا سایر پدیده ها با همپوشانی منحنی های گاوسی ، سریع حل کنید ، لطفاً فقط به صفحه گسترده ای که در مرحله پیوست شده مشاهده خواهید کرد ، بپردازید. 5 این راهنما ، که زندگی شما را آسان کرده و به طور خودکار تمام محاسبات را برای شما انجام می دهد.

امیدوارم ریاضی کاربردی را دوست داشته باشید زیرا این درس در مورد آن است.

مرحله 1: درک نور ساطع شده از LED تک رنگ

در این تجزیه و تحلیل ، من یک سری LED های رنگی را در نظر می گیرم ، همانطور که از نمودار طیف آنها (تصویر اول) به وضوح می بینید ، توزیع قدرت طیفی آنها واقعاً شبیه یک گوسی است که در محور x در 33- و 33 نانومتر از میانگین همگرا می شود (سازندگان معمولاً این مشخصات را ارائه می دهد) با این حال ، در نظر بگیرید که نمایش این نمودار همه طیف ها را در یک واحد قدرت عادی می کند ، اما LED ها با توجه به میزان کارآمد تولید و میزان جریان الکتریکی (mA) که در آنها تغذیه می شود ، قدرت متفاوتی دارند.

همانطور که می بینید گاهی اوقات شار نورانی دو LED روی طیف همپوشانی دارد. بیایید بگوییم که من به راحتی می خواهم مساحت همپوشانی آن منحنی ها را محاسبه کنم ، زیرا در آن ناحیه دو برابر قدرت وجود خواهد داشت و من می خواهم بدانم چقدر قدرت در زمان لومن (lm) ما در آنجا داریم ، خوب اینطور نیست یک کار آسان که ما سعی می کنیم در این راهنما به آن پاسخ دهیم. مشکل به این دلیل بوجود آمد که هنگام ساختن لامپ آزمایشی واقعاً می خواستم بدانم طیف آبی و سبز چقدر با هم همپوشانی دارند.

ما فقط روی LED های تک رنگ که آنهایی هستند که در قسمت باریکی از طیف ساطع می شوند تمرکز می کنیم. در نمودار: رویال آبی ، آبی ، سبز ، نارنجی قرمز ، قرمز. (لامپ واقعی که من می سازم RGB است)

زمینه فیزیک

بیایید کمی عقب برگردیم و در ابتدا کمی توضیحات فیزیک ارائه دهیم.

هر LED دارای یک رنگ است یا از نظر علمی می توان گفت که دارای طول موج (λ) است که آن را تعیین می کند و بر حسب نانومتر (nm) و λ = 1/f اندازه گیری می شود ، جایی که f فرکانس نوسان فوتون است.

بنابراین آنچه ما RED می نامیم در اصل یک دسته (فوق العاده) فوتون است که در 630 نانومتر نوسان می کنند ، این فوتون ها به ماده برخورد کرده و در چشم های ما که به عنوان گیرنده عمل می کنند ، تکان می خورند و سپس مغز شما رنگ جسم را به عنوان قرمز پردازش می کند. و یا فوتون ها می توانند مستقیماً وارد چشمان شما شوند و LED را مشاهده می کنید که آنها را به رنگ قرمز روشن می کند.

کشف شد که چیزی که ما آن را نور می نامیم در واقع تنها بخش کوچکی از طیف الکترومغناطیسی است ، بین 380 نانومتر و 740 نانومتر. بنابراین نور یک موج الکترومغناطیسی است. آنچه در مورد آن بخش از طیف کنجکاو است این است که دقیقاً بخشی از طیف است که به راحتی از آب عبور می کند. حدس بزن چی شده؟ اجداد باستانی ما از سوپ اولیه در واقع در آب بودند و در آبی است که اولین موجودات زنده پیچیده تر شروع به ایجاد چشم کردند. به شما پیشنهاد می کنم ویدیوی Kurzgesagt را که ضمیمه کرده ام ببینید تا نور را بهتر درک کنید.

به طور خلاصه یک LED نور ساطع می کند ، که مقدار معینی از قدرت رادیومتری (mW) در طول موج معین (nm) است.

معمولاً وقتی با نور مرئی سروکار داریم ، در مورد توان رادیومتری (mW) صحبت نمی کنیم ، بلکه در مورد شار نورانی (lm) صحبت می کنیم ، که یک واحد اندازه گیری در پاسخ به نور مرئی چشم انسان است که از آن به دست می آید. واحد اندازه گیری candela ، و در لومن (lm) اندازه گیری می شود. در این ارائه ما لومن های ساطع شده از LED ها را در نظر خواهیم گرفت ، اما همه چیز دقیقاً به همان میزان در mW اعمال می شود.

در هر صفحه داده LED ، سازنده این اطلاعات را به شما می دهد:

به عنوان مثال از این برگه داده پیوست می بینید که اگر هر دو led را با 100mA تغذیه کنید ، این موارد را دارید:

آبی در 480 نانومتر است و دارای 11 لیتر شار نورانی است.

سبز در 530 نانومتر است و دارای 35 لیتر شار نورانی است.

این بدان معناست که منحنی آبی گاوس بلندتر می شود ، بیشتر افزایش می یابد ، بدون تغییر در عرض آن و در اطراف قسمتی که با خط آبی مشخص شده است ، نوسان می کند. در این مقاله من نحوه محاسبه ارتفاع گاوسی را بیان می کنم که بیانگر حداکثر اوج قدرت ساطع شده از LED است ، نه تنها قدرت ساطع شده در آن بخش از طیف ، متأسفانه این مقدار کمتر خواهد بود. علاوه بر این ، من سعی می کنم قسمت همپوشانی دو LED را تقریب بزنم تا دریابم که هنگام برخورد با LED هایی که در طیف "همسایه" هستند ، میزان شار نورانی همپوشانی دارد.

اندازه گیری شار LED ها یک موضوع بسیار پیچیده است ، اگر مشتاق هستید که بیشتر بدانید ، من مقاله مفصلی از اسرام را بارگذاری کرده ام که نحوه انجام کارها را توضیح می دهد.

مرحله 2: مقدمه ای بر Parabola

من به جزئیات زیادی درمورد آنچه که سهمی است نمی پردازم ، زیرا در مدرسه به طور گسترده مورد مطالعه قرار می گیرد.

معادله سهمی را می توان به شکل زیر نوشت:

y = ax^2+bx+c

ARCHIMEDES به ما کمک می کند

آنچه من می خواهم بر آن تاکید کنم یک قضیه مهم هندسی توسط ارشمیدس است. قضیه می گوید مساحت یک سهمی که در یک مستطیل محدود شده است برابر 2/3 مساحت مستطیل است. در اولین تصویر با سهمیه می بینید که منطقه آبی 2/3 و مناطق صورتی 1/3 مساحت مستطیل است.

ما می توانیم سه وجه و معادله آن را با دانستن سه نقطه از این سهمیه محاسبه کنیم. در مورد ما ما راس را محاسبه می کنیم و تقاطع ها را با محور x می شناسیم. به عنوان مثال:

Vertex LED آبی (480 ،؟) Y رأس برابر با قدرت نورانی است که در طول موج پیک منتشر می شود. برای محاسبه آن از رابطه ای که بین مساحت یک گاوسی (شار واقعی ساطع شده توسط LED) و مقدار یک سهمی وجود دارد استفاده می کنیم و از قضیه ارشمیدس برای آگاهی از ارتفاع مستطیلی که شامل آن سهمی است استفاده خواهیم کرد.

x1 (447 ، 0)

x2 (513 ، 0)

مدل PARABOLIC

با نگاهی به تصویری که بارگذاری کرده اید می توانید یک مدل پیچیده را مشاهده کنید که با پارابولا چندین شار نورانی LED مختلف را نشان می دهد ، اما ما می دانیم که نمایش آنها دقیقاً شبیه آن نیست زیرا بیشتر شبیه یک گاوسی است.

با این حال ، با استفاده از فرمول های بدلی ، با استفاده از فرمول های ریاضی می توانیم تمام نقاط تقاطع چندین پارابولا را پیدا کرده و مناطق متقاطع را محاسبه کنیم.

در مرحله 5 من یک صفحه گسترده ضمیمه کرده ام که در آن تمام فرمول ها را برای محاسبه تمام پارابولا ها و مناطق متقاطع آنها از LED های تک رنگ قرار داده ام.

معمولاً ، پایه گاوسی یک LED 66 نانومتر بزرگ است ، بنابراین اگر طول موج غالب را بدانیم و تابش LED را با یک سهمیه تقریبی بدانیم ، می دانیم که سهمیه نسبی محور x را در λ+33 و λ-33 قطع خواهد کرد.

این مدلی است که تقریباً کل تابش نور LED را با پارابولا تخمین می زند. اما ما می دانیم که اگر بخواهیم دقیق باشیم دقیقاً درست نیست ، باید از منحنی های گاوس استفاده کنیم ، که ما را به مرحله بعدی می رساند.

مرحله 3: مقدمه ای بر منحنی گاوسی

از نظر گوسی ، این منحنی است که پیچیده تر از یک پارابولا به نظر می رسد. توسط Gauss برای تفسیر خطاها اختراع شد. در واقع ، از این منحنی دیدن توزیع احتمالی یک پدیده بسیار مفید است. تا آنجا که از سمت متوسط به سمت چپ یا راست حرکت می کنیم ، پدیده خاصی کمتر دیده می شود و همانطور که از تصویر گذشته مشاهده می کنید ، این منحنی تقریب بسیار خوبی از وقایع زندگی واقعی است.

فرمول گاوسی ترسناک است که در تصویر دوم مشاهده می کنید.

خواص گوسی عبارتند از:

- این نسبت متقارن نسبت به میانگین است ؛

- x = μ نه تنها با میانگین حساب بلکه با میانه و حالت همخوانی دارد.

- در محور x در هر طرف بدون علامت است.

- برای xμ کاهش می یابد ؛

- دارای دو نقطه عطف در x = μ-σ است.

- مساحت زیر منحنی 1 واحد است (احتمال اینکه هر x تأیید کند)

σ انحراف معیار است ، هرچه عدد بزرگتر باشد قاعده گوسی گسترده تر است (تصویر اول). اگر مقدار در قسمت 3σ باشد می دانیم که واقعاً از میانگین فاصله می گیرد و احتمال وقوع آن کمتر است.

در مورد ما ، با LED ها ، ما مساحت Gaussian را می دانیم که شار نوری است که در برگه داده تولید کننده در یک قله طول موج معین (که میانگین است) داده شده است.

مرحله 4: تظاهرات با Geogebra

در این بخش به شما می آموزم که چگونه از Geogebra برای نشان دادن اینکه سهمی 2.19 برابر Gaussian آن است استفاده کنید.

ابتدا باید چند متغیر ایجاد کنید ، روی فرمان slider کلیک کنید:

انحراف استاندارد σ = 0.1 (انحراف استاندارد تعیین می کند که چقدر منحنی گاوس گسترده است ، من مقدار کمی را قرار دادم زیرا می خواستم آن را برای شبیه سازی توزیع قدرت طیفی LED باریک کنم)

میانگین 0 است ، بنابراین گوسی بر روی محور y ساخته شده است ، جایی که کار با آن راحت تر است.

روی تابع موج کوچک کلیک کنید تا بخش تابع فعال شود. در آنجا با کلیک بر روی fx می توانید فرمول گوسی را وارد کنید و خواهید دید که روی صفحه یک منحنی بلند و زیبا از گاوسی ظاهر می شود.

از نظر گرافیکی می بینید که منحنی در محور x همگرا می شود ، در مورد من در X1 (-0.4 ؛ 0) و X2 (+0.4؛ 0) و جایی که راس در V است (0 ؛ 4).

با این سه نکته شما اطلاعات کافی برای پیدا کردن معادله سهمی را دارید. اگر نمی خواهید با دست خود محاسبه کنید ، در مرحله بعد از این وب سایت یا صفحه گسترده استفاده کنید.

از دستور function (fx) برای پر کردن تابع parabola که به تازگی پیدا کرده اید استفاده کنید:

y = -25x^2 +4

اکنون باید بفهمیم چند نفر از گاوسی ها در یک سهمیه هستند.

شما باید از دستور function و برای وارد کردن دستور Integral (یا Integrale در مورد من ، همانطور که از نسخه ایتالیایی استفاده می کردم) استفاده کنید. انتگرال معین عمل ریاضی است که به ما اجازه می دهد تا مساحت یک تابع که بین مقادیر x تعریف شده است را محاسبه کنیم. اگر به خاطر ندارید که انتگرال مشخص چیست ، اینجا را بخوانید.

a = انتگرال (f ، -0.4 ، +0.4)

این فرمول Geogebra انتگرال تعریف شده بین -0.4 و +0.4 تابع f ، گاوس را حل می کند. از آنجا که ما با یک گوسی سروکار داریم ، مساحت آن 1 است.

همین کار را برای سهمیه انجام دهید و عدد جادویی 2.13 را کشف خواهید کرد. این عدد کلیدی برای انجام همه تبدیلهای نورانی با LED ها است.

مرحله 5: مثال زندگی واقعی با LED ها: محاسبه قله شار و شارهای همپوشانی

جریان نورانی در قله

محاسبه ارتفاع واقعی منحنی های گاوسی هم زده توزیع شار LED ، اکنون که ضریب تبدیل 2.19 را کشف کرده ایم ، بسیار آسان است.

مثلا:

LED آبی دارای 11 لیتر شار نوری است

- ما این شار را از گوسی به سهموی 11 2. 2.19 = 24.09 تبدیل می کنیم

- ما از قضیه ارشمیدس برای محاسبه مساحت مستطیل نسبی که شامل سهمی 24.09 x 3/2 = 36.14 است استفاده می کنیم

- ما ارتفاع مستطیل تقسیم شده برای پایه Gaussian برای LED آبی را که در برگه داده داده شده یا در نمودار داده مشاهده می شود ، معمولاً در حدود 66 نانومتر ، و این قدرت ما در اوج 480 نانومتر است: 36.14 / 66 = 0.55

روی هم انداختن ناحیه های شار لومینوس

برای محاسبه دو تابش همپوشان ، با یک مثال با دو LED زیر توضیح می دهم:

آبی در 480 نانومتر است و دارای 11 لیتر شار نوری است سبز در 530 نانومتر است و دارای 35 لیتر شار نورانی است

ما می دانیم و از نمودار می بینیم که هر دو منحنی گاوسی در -33 نانومتر و +33 نانومتر همگرا می شوند ، در نتیجه می دانیم که:

- BLUE محور x را در 447 نانومتر و 531 نانومتر قطع می کند

- GREEN محور x را در 497 نانومتر و 563 نانومتر قطع می کند

ما به وضوح می بینیم که دو منحنی به عنوان یکی از سرهای اول پس از شروع سر دیگر (531 نانومتر> 497 نانومتر) تلاقی می کند ، بنابراین نور این دو LED در برخی نقاط همپوشانی دارد.

ابتدا باید معادله سهمی را برای هر دو محاسبه کنیم. صفحه گسترده پیوست شده برای کمک به شما در محاسبات وجود دارد و فرمولهایی را برای حل سیستم معادلات برای تعیین دو پارابولا با دانستن نقاط متقاطع محور x و راس تعبیه کرده است:

Parabola آبی: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

Parabola سبز: y = -0.001555793281x^2 + 1.680256743x - 451.9750618

در هر دو مورد a> 0 و ، بنابراین ، سهمی به درستی به صورت وارونه نشان داده شده است.

برای اثبات صحت این پارابولا کافی است a ، b ، c را در ماشین حساب راس در این وب سایت ماشین حساب سهمی پر کنید.

در صفحه گسترده تمام محاسبات در حال حاضر برای یافتن نقاط تقاطع بین پارادولا ها و محاسبه انتگرال قطعی برای بدست آوردن مناطق متقاطع آن پارابولا انجام شده است.

در مورد ما ، مناطق متقاطع طیف های LED آبی و سبز 0.4247 است.

هنگامی که سه گوشهای متقاطع را در اختیار داریم ، می توانیم این منطقه متقاطع تازه تاسیس شده را برای ضرب گاوسسی 0.4694 ضرب کرده و تقریبی بسیار نزدیک از میزان تابش LED ها در مجموع در آن بخش از طیف پیدا کنیم. برای یافتن شار LED واحد منتشر شده در آن قسمت فقط بر 2 تقسیم کنید.

مرحله 6: مطالعه LED های تک رنگ لامپ آزمایشی اکنون به پایان رسیده است

خوب ، بسیار متشکرم که این تحقیق را مطالعه کردید. امیدوارم درک عمیق نحوه انتشار نور از لامپ برای شما مفید واقع شود.

من در حال مطالعه شار LED های یک لامپ مخصوص ساخته شده با سه نوع LED تک رنگ هستم.

مواد تشکیل دهنده این لامپ عبارتند از:

- 3 LED BLU

- 4 چراغ سبز

- 3 LED RED

- 3 مقاومت برای محدود کردن جریان در شاخه های مدار LED

- منبع تغذیه 12 ولت 35 وات

- جلد اکریلیک برجسته

- کنترل OSRAM OT BLE DIM (واحد کنترل LED بلوتوث)

- هیت سینک آلومینیومی

- M5 پررنگ و مهره و براکت L

همه چیز را با برنامه Casambi از تلفن هوشمند خود کنترل کنید ، می توانید هر کانال LED را به طور جداگانه روشن و کم نور کنید.

ساخت لامپ بسیار ساده است:

- LED را با نوار دو طرفه به هیت سینک وصل کنید.

- تمام LED های BLU را به صورت سری با یک مقاومت لحیم کنید و همین کار را با رنگ دیگر برای هر شاخه از مدار انجام دهید. با توجه به LED هایی که انتخاب می کنید (من از LED Lumileds استفاده کردم) باید اندازه مقاومت را نسبت به میزان جریان تغذیه شده در LED و ولتاژ کل داده شده توسط منبع تغذیه 12 ولت انتخاب کنید. اگر نمی دانید چگونه این کار را انجام دهید ، به شما پیشنهاد می کنم این دستورالعمل عالی را در مورد نحوه تعیین اندازه مقاومت برای محدود کردن جریان یک سری LED بخوانید.

-سیمها را به هر کانال Osram OT BLE وصل کنید: همه مثبت اصلی شاخه های LED به رایج (+) و سه منفی شاخه به ترتیب به -B (آبی) -G (سبز) می رود.) -R (قرمز)

- منبع تغذیه را به ورودی Osram OT BLE وصل کنید.

در حال حاضر چیزی که در مورد Osram OT BLE جالب است این است که می توانید سناریوهایی ایجاد کرده و کانال های LED را برنامه ریزی کنید ، همانطور که در قسمت اول ویدیو مشاهده می کنید من سه کانال را کم نور می کنم و در قسمت دوم ویدیو از برخی از آنها استفاده می کنم. سناریوهای نوری از پیش ساخته شده

نتیجه گیری

من به طور گسترده از ریاضی استفاده کرده ام تا عمیقاً نحوه انتشار شار این لامپ ها را درک کنم.

من واقعاً امیدوارم که امروز چیز مفیدی آموخته باشید و من تمام تلاش خود را به کار می گیرم تا موارد کاربردی تر و کاربردی تری مانند این مورد را بیاموزم.

تحقیق کلید است!

خیلی طولانی!

پیترو